théorèmes du point fixe

imagesEn analyse, un théorème de point fixe est un résultat qui permet d’affirmer qu’une fonction f admet sous certaines conditions un point fixe. Ces théorèmes se révèlent être des outils très utiles en mathématiques, principalement dans le domaine de la résolution des équations différentielles. Le théorème du point fixe de Banach donne un critère général dans les espaces métriques complets pour assurer que le procédé d’itération d’une fonction tende vers un point fixe. Très différent, le théorème du point fixe de Brouwer n’est pas constructif : il garantit l’existence d’un point fixe d’une fonction continue définie de la boule unité fermée euclidienne sur elle-même sans apporter de méthode générale pour le trouver.
Par exemple, la fonction cosinus définie de l’intervalle [-1;1] (boule fermée de l’espace euclidien à une dimension) sur lui-même, est continue : elle doit donc y posséder un point fixe (qui vaut approximativement x=0,74 et correspond à la solution de l’équation x=cos(x))
L’équation f(x)=x s’appelle alors équation aux limites possibles.
La démonstration du résultat précédent est très facile : il suffit de passer à la limite dans l’égalité un+1=f(un) , ce qui est légitime puisque f est continu(…)Toute fonction continue d’un convexe compact de Rn dans lui-même admet un point fixe.
(…)Par exemple, si vous tournez votre café, à la fin il y a au moins une particule qui sera toujours à la même place!

Isa Coriandre (extraits trouvés sur internet )

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